Louis-Hadrien Robert,  "Mousses et homologies d'entrelacs"
(avec Emmanuel Wagner) 

Les mousses sont des surfaces avec des singularités. On peut y penser
comme des cobordismes entre des graphes. Je vais présenter une formule 
qui permet d'associer à une mousse sans bord un polynôme symétrique en
N variables. J'expliquerai ensuite comment cette formul donne une TQFT
qui catégorifie le calcul MOY $\mathfrak{sl}_N$. Ceci permet de
définir l'homologie d'entrelacs $\mathfrak{sl}_N$ équivariante.

De manière surprenante, cette même formule permet de catégorifier les
invariants d'entrelacs associés aux puissances symmétriques de la
représentation standard de $U_q(\mathfrak{sl}_N)$ (le polynôme de
Jones colorié dans le cas N=2).

Khovanov et Seidel ont défini en 2000 une action des groupes de
tresses sur la catégorie des modules sur l'algèbre zig-zag, un certain
quotient d'une algèbre de chemins. Cette action, qui catégorifie la
représentation de Burau, est fidèle et la catégorie en jeu se comprend
comme un analogue catégorique du réseau des racines pour l'étude des
groupes de Weyl.

La présence de plusieurs graduations sur cette catégorie de modules
fournit de nouveaux outils pour l'étude des groupes
d'Artin-Tits. J'expliquerai notamment comment dériver des mesures sur
les groupes de tresses en mesurant l'étalement du cœur de la catégorie
sous l'action d'une tresse donnée. On identifiera ainsi les
longueurs-mots en les générateurs d'Artin et duaux.

Un intérêt majeur de cette approche est qu'elle permet de mélanger les
différentes graduations et de mener une étude parallèle des deux métriques.